Gönül Dergisi | Kültür ve Medeniyet Dergisi Gönül Dergisi
Sürekli duyduğumuz klasik ifadelerden biri “Matematik dersinde öğrendiğim bu şeyler gerçek yaşamda ne işime yarayacak.” Bu konuda siz ne düşünüyorsunuz?
Matematiğin kökü gerçek yaşamdadır. Ölçme (adedi, uzunluğu, alanı, hacmi, zamanı) ve hesap yapma (alışverişte, bir işin bitmesi için gereklilikleri belirlemede, paylaşım yapmada, yön bulmada, ilişkileri tespit etmede vb.) gibi günlük hayatta kullanılması gereken temel bilgi ve beceriler matematiğin ortaya çıkışını motive etmiştir. Dolayısıyla, matematiksel kavram ve işlemler tanımlanmadan önce yaşamda duyumsanmış, keşfetmenin zihinsel alt yapısı oluşmuştur. Matematiksel bilgi üretimi, keşfetme ve kavramsallaştırma sürecidir. Bu temel unsurlar, zihnin bunları geliştirme eğilimi, bilme ve anlama isteği, hayatın matematiksel bilgi ve becerilerin kullanımı artıracak şekilde gelişmesi ve diğer bilim ve sanat dallarının matematikle olan ilişkilerinin artmasıyla giderek çeşitlenmiş ve ilerlemiştir.
Gerçek yaşamda matematiğin kullanımı doğrudan ve dolaylı olarak düşünülebilir. Cep telefonu, televizyon, araba, uçak, bilgisayar vb. saymakla bitmeyecek sanayi ve teknoloji ürünlerinin ortaya çıkmasında derin ve ileri seviyede matematiksel içerik bulunmaktadır. Doğrudan kullanımında ise kişiler günlük yaşamlarında aritmetiği kullanarak çeşitli hesaplar yaparlar. Paralarını nerde değerlendirmenin daha kârlı olacağı, alacakları araba modelinin dizel mi yoksa benzinli mi olmasının daha kârlı olacağını, doğal gazı gündüz kısıp akşam açmanın daha ekonomik olup olmayacağı, arabasının ne kadar yaktığının hesabında, aylık evi geçindirmede nasıl davranması gerektiğini, bireysel emekliliğe girip girmeme konusunda, bahçelerine şadırvan yaparken vs. günlük yaşamın onlarca alanında insanlar matematiksel bilgileri kullanırlar.
Düşünme ve çözüm üretme konusunda matematiği bilmek nerede duruyor?
Bilim ve teknoloji evreni ve doğayı anlama, yaşamdaki problemleri çözme, yaşamı kolaylaştırma temelinde var olmuştur ve bu çalışma alanlarının temel bilgisi de matematiğe dayalıdır. Yıldızların ne kadar uzaklıkta olduğu nasıl ölçülmüştür? Aya gidecek roket nasıl oluşturulmuştur? Gökdelenler nasıl oluşturulmuştur? Uçak nasıl uçmakta, denizaltı nasıl gidebilmekte, gemi nasıl yüzmektedir? Bu gibi binlerce sorun ve çözümü matematiksel bilgi ve düşünmeye dayalıdır. Ayrıca yukarıda bahsettiğim gibi günlük yaşamda da insanlar sorunlarının çözümünde matematiği kullanılırlar. Genel olarak matematik bir düşünme sanatıdır. Matematik tanımının sayı ve şekil kavramlarıyla sınırlanmaması gerekir. Çünkü bu kavramlar oluşturulmadan önce de matematik vardı. Örneğin geometrinin hatta matematiğin çıkışı olarak Antik Mısır’da Nil Nehri’nin taşması probleminden bahsedilir. O halde matematik tanımına, bu problemin çözüm sürecinde yapılanları ve öngörü olarak önceki dönemlerde problem çözme adına ortaya konan düşünceleri de dâhil etmek gerekir. Bununla birlikte matematiğe “problem çözme” demek de tam kapsayıcı olmaz. Bir heykeltıraş örneğin bir kütüğü ele alıp ona bir form verir; bir müzisyenin elinde ise sesler vardır ve bunlara bir form verir; bir ressam ise renklere bütüncül bir yaklaşımla form verir; aynı şekilde yazar, şair kelimelere bütüncül bir yaklaşımla sıralı ve organize bir şekilde form verir. Benzer ilişkiler diğer sanat dalları için de ortaya konulabilir. Bu ilişkide ressama, mimara, bestekâra, şaire, yazara heykeltıraşa vb. “sanatçı” denir. Yaptıkları eylemin adı da “sanat”tır. Dolayısıyla, “sanat” en genel olarak “estetik form verme eylemi” olarak ifade edilebilir. Buradaki estetik algısı kayda değer ölçüde subjektiftir. Matematiğe de aynı perspektiften bakılabilir ve en kapsayıcı matematik tanımı “Matematik, bir düşünme sanatıdır.” olarak verilebilir. Buradaki “düşünme” kelimesi, matematikçinin ortalama bir insanda mevcut olan düşünme / mantık yürütme / ilişkiler kurma / yapılandırma gibi düşünsel öğeleri herhangi bir türden bir problemin çözümü sürecinde sıraya koyma, bazılarını bir araya getirme gibi bir form vermesini içerir ve soyut ve simgeseldir. Bu simgeler, kavramları ve ilişkileri sembolize eder. Kısacası ressam renklere; bestekâr seslere form verirken, matematikçi de düşüncelere form verir. Sonuç olarak matematik aynı zamanda bir sanat ve matematikçi de bilim adamı sıfatının yanında aynı zamanda bir sanatçıdır ve malzemesi düşüncelerdir. Elbette şunu da eklemek gerekir: Bir eserin kopyasının yapılması veya temel alınıp üzerinde önemsiz değişiklikler yapılması eylemine sanat, bu kişiye de sanatçı denemeyeceği için matematiksel ilke ve yöntemleri standart şekilde (zanaatkâr gibi) uygulayana da matematik sanatçısı değil matematik zanaatçısı demek daha uygun olur. Diğer taraftan, her sanatçı çeşitli nitelikler açısından derecelendirilebileceği gibi matematikçi de derecelendirilebilir.
Gerçek yaşam problemlerinin çözümü noktasında matematiksel modellemenin etkisi nasıldır?
Matematiksel modelleme; gerçek yaşam bağlamındaki problemlerin matematiksel olarak tanımlanıp, formüle edildiği ve matematiksel çözümün problemin çözümü temelinde yorumlandığı bir süreçtir. Matematiksel modelleme genellikle, bir gerçeği mümkün olduğunca doğru bir şekilde betimlemek veya öngörüde bulunmak için yapılır. Matematiksel modelleme hayatın birçok alanındaki problemlere ışık tutabilir. Örneğin:
Öngörüde bulunma: Dünyadaki ısı değişiminin sonuçları; bir gölün kuruma süreci; bir sonraki olimpiyatlarda bayanlar 100 m koşusunun yaklaşık zamanı; Türkiye nüfusunun belli bir yıl sonra yaklaşık ne kadar olacağı; bir salgın hastalığın zaman ve alan açısından yayılma süreci; bir şehirdeki trafik kazalarını öngörme vb. durumlar için matematiksel modellemeden yararlanılır.
Karar Verme: Eve/binaya güneş enerjisi paneli, su arıtma vb. yaptırmanın ekonomik olmasının koşulları; dizel ya da benzinli araba almanın daha ekonomik olmasının koşulları; trafik sıkışıklığı probleminin giderilmesi için nereye trafik lambası konmalı ve bu lambaların yanma şekli ve süreleri nasıl olmalı; diyet programı hazırlama; geniş bir kayak bölgesindeki kaza geçmişine dayalı olarak mevcut koşullardaki sınırlar dikkate alınarak yaralıları hastaneye en hızlı yetiştirmek için kurtarma helikopterlerinin veya başka araçların nerelere yerleştirileceğine karar verilmesi; büyük bir salona yerleştirilecek ses hoparlörlerinin yerine karar verilmesi; reklama en fazla ne kadar para harcamanın mantıklı olacağına karar verilmesi; bir müteahhitin en fazla kâr elde etmek için ne tür evlerden ne şekilde yaptırması gerektiğine karar vermesi; “Salçayı/nar ekşisini vs. marketten almak yerine evde kendimiz mi yapsak?” sorusuna cevap verilmesi; eve mantolama yaptırıp yaptırmamaya karar verilmesine ışık tutma; bir madencinin nerelerde petrol kuyusu açma girişiminde bulunmasının mantıklı olacağı; illerin nüfusuna göre milletvekili sayılarının en adil nasıl olacağına karar verilmesi; bir havayolu şirketinin daha ucuz bilet satma ve daha fazla kazanma denklemini nasıl çözebileceğine karar vermesi; bankanın çeşitli işlemlerden aldığı ücretler veya başka koşulları dikkate alarak hangi bankadan hesap açtırmanın daha ekonomik olacağına karar verilmesi, kimler için hangi GSM operatörü paketleri daha mantıklı olacaktır gibi çeşitli durumlarda karar verme açısından matematiksel modelleme gereklidir.
Bir sistemin işleyişini görme ve geliştirme: Güneş sisteminin modellenerek gezegenlerin ve aralarındaki ilişkilerin betimlenmesi; bir işletmenin gelir ve giderlerinin modellenmesi (buna göre kârı artırmanın yollarına karar verilmesi); hava kirliliği oluşum sürecinin modellenmesi, işletme yönetimi vb.
Bir araç/cihaz geliştirilmesi: Güneş saati yapımı; bir ağırlık ölçer geliştirilmesi, bir füze/otomobil/cep telefonu alıcısı gibi çeşitli ürünlerin gelişimi sürecinde matematiksel modellemelerden yararlanılır.
Fonksiyonel ilişkileri formülize etme: Dünyanın çevresini ölçme; özellikleri verilen bir noktadan bakıldığında denizden gelen bir geminin direği görüldüğü anda kıyıya olan mesafesini veren genel bir formül ortaya konulması; bir otomobilin caddeden giderken otomatik olarak uygun bir park alanı bulması ve park etmesi; bir alışveriş merkezinin otoparkının biçimlendirilmesi; yatay bir benzin deposuna sokulan çubuğun ıslanma uzunluğuna bakarak depodaki yakıt miktarını hesaplama; bir büyüklüğün bir parçasındaki veriden hareketle tamamı hakkında veri oluşturma.
Doğayı Anlama: Matematiksel modelleme; Jeolojik olayları, atmosferik olayları, coğrafi oluşumları, bitkilerin morfolojik yapısını, karıncaların hareket tarzını, arı peteklerinin düzgün altıgen formda olmasının avantajlarını vb. anlamamızı sağlar.
Müzik ve sanatın matematik ile arasındaki ilişkiye dair neler söylemek istersiniz?
Leibniz, “Müzik, hesapladığının bilincinde olmayan bir aklın, gizli aritmetik egzersizidir.” derken, Rameau ise “Müzik, kuralları belirlenmiş bir bilimdir. Bu kurallar belirgin olması gereken bir prensipten çıkarılmalıdır ve bu prensip matematiğin yardımı olmadan bilinemez.” demiştir. Descartes, Mersenne, Euler, D’Alembert, Rameau gibi 17. ve 18. yüzyılın önde gelen matematikçilerden bazıları aynı zamanda müzik teorisyenleriydi ve bu konuda önemli eserler yazmışlardır. Romalı Filozof Boethius üç müzisyen tipini şöyle açıklamıştır: teorisyen, besteci ve yorumcu. Yorumcular, seslerini veya enstrümanları kullanarak eseri icra ederler. Besteciler ise müzik teorilerini veya içlerinden gelen doğal yetenekleri ile müzik yaratırlar, oysa teorisyen tamamen düşünmeye, mantığa, matematiğe dayalı çalışır.
İlk kez oranlar ile müziği Pisagor ilişkilendirmiştir. Gergin bir telin uzunluğu ile ses arasındaki matematiksel bağıntıları ve kulağa hoş gelen sesleri ve aralarındaki ilişkileri de tanımlamıştır. Örneğin, do notasını çıkaran bir telin uzunluğu açısından diğer sesleri veren tel uzunlukları şöyledir: Si (16/15), La (6/5), Sol (4/3), Fa (3/2), Mi (8/5), Re (16/9). Bu oranlar kuyruklu piyanonun biçiminin üstel bir eğri biçiminde olmasına da neden olur. Birçok müzik aletinin biçimi ve yapımı matematiksel kavramlara dayanır.
Pisagor döneminde müzik, ses ve uyum (harmoni) bilimi idi. Bu bağlamdaki temel kavramlar uyum (ahenk) ve uyumsuzluktu. İki farklı nota birlikte çalındığında her zaman hoş, ahenkli bir sesin gelmediği fark edilmişti. Pisagor iki temel harmonik müzik yasasını keşfetmiştir: 1) İki tonun salınım frekansının oranı küçük sayılarla tanımlanırsa, bunlar harmonik ses verirler. 2) Üçlü harmonik ses elde etmek için, üçüncü tonun salınım frekansı, iki tonla harmonik bir orantıda olmalıdır. Rameau, harmonik frekansların, temel seslerin frekansının katları olduğunu ve bu katların pozitif tamsayılar tarafından verildiğini keşfetmiştir.
Müziğin bir ölçüsü/düzeni/matematiği vardır ve bu yüzden estetik, hoş gelir. Bir müzik eserinin eşit süreli bölümlerine ölçü denir. Her ölçüde ölçü rakamı kadar nota süreleri vardır. Bir ölçüye göre n sayıda nota yazmak, matematikte ortak paydayı bulmaya benzer. Çünkü belli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar belirli bir ölçüye uydurulur. Bir beste incelendiğinde, her ölçünün, değişik uzunlukta notaları kullanan birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, altmışdörtlük gibi belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür ve bu vuruşlar arasında matematiksel ilişki bulunmaktadır. Örneğin, sekizlik bir vuruş, otuz ikilik bir vuruşun zaman açısından 4 katıdır.
Müzik yapanlar, sembolik dili ve diyagramlar dâhil olmak üzere zengin bir gösterim sistemini kullanırlar. On birinci yüzyıldan itibaren, müzikte kullanılan diyagramlar, iki boyutlu kartezyen koordinatlarındaki ayrık fonksiyonların matematiksel grafiklerine benzerdir. X ekseni zamanı temsil ederken, y ekseni ses perdesini temsil eder.
Bir müzik parçasının başlangıcında, nota anahtarı işaretlendikten sonra, zaman işareti nota çizgilerindeki bir kesir tarafından işaretlenir. Ortak zaman işaretleri 2/4, 3/4, 4/4 ve 6/8’dir. Kesrin paydası, ölçü birimidir ve vuruşu belirtmek için kullanılır. Pay, bu birimlerin sayısını veya bir ölçü bölümünde bunlara denk olan eşdeğerlerini gösterir. Müzikte vurgulu veya hafif vuruşlara “meter” (ölçü) denir. Ölçü ayrıca zaman işaretinin payında da verilir. Ortak ölçüler, ölçekteki vuruş sayısını belirten 2, 3, 4, 6, 9, 12 sayılarıdır. Örneğin, zaman işareti 3/4 ele alalım. Her ölçü 3 (pay) çeyrek (payda) notaya eşittir. Her ölçüdeki sayım 1, 2, 3 olabilir. Soyut dilin ve gösterimin yanı sıra, simetri, periyodiklik, oran, ayrıklık ve süreklilik gibi matematik kavramları bir müzik parçası oluşturur. Rakamlar ayrıca enstrümantaldir ve müzikal aralığın, ritim, süre, tempo ve diğer bazı notasyonların uzunluğunu etkiler.
Şarkılardaki melodiler dizileri takip ederler. Bu dizilerin çok bilinen bazı matematiksel dizilere benzediklerini söyleyebiliriz. Modüler aritmetiğin güzel uygulamalarından olan müzik dizileri toplumdan topluma değişiklik gösterir. Örneğin, Batı’da tam ve yarım seslerden oluşan majör ve minör diziler kullanılırken, Doğu’da komalı seslerden de yararlanılarak oluşturulmuş makamlar kullanılır. Dizilerin bir ya da daha fazla türüne ait seslerin çeşitli besteleme kuralları içinde seçilip sıralanmasıyla melodiler oluşturulur.
Müzik; oranlar, üstel eğriler, periyodik fonksiyonlar, diziler, seriler, logaritma, cebirsel yapılar gibi daha ileri matematiksel kavramlarla ilişkilidir ve bunların müzikte kullanımını ancak matematiği iyi bir müzisyen açıklayabilir. Müzikle ilgili teorik bilgileri içeren eski kitaplarda makam dizileri ve ritimlerin daireler üzerinde geometriden yararlanılarak ifade edildikleri görülür. Müziksel sesleri gürültü seslerinden ayıran özellik, müziksel seslerin ayırt edilebilir bir perde verebilme özelliğidir. Bunun ölçütü ise, o sesin periyodik olma derecesidir. 19. yüzyılın ünlü matematikçisi Fourier, bütün müzikal seslerin periyodik sinüs fonksiyonlarıyla matematiksel olarak tanımlanabileceğini göstermiştir.
20. yüzyılın yeni besteleme yöntemleri (ör. oniki ses tekniği ve dizisel müzik) içinde matematik daha yoğun biçimde kullanılmaya başlanmıştır. Son yıllarda müziği armonik ve melodik açıdan çözümlemek için tasarlanan bazı matematiksel yöntemler de bulunuyor.
Müzik dışında resim, heykel ve mimari gibi sanat dallarında matematiğin kullanımı söz konusudur. Resimde perspektif kuralları ve ölçüler önemlidir ve bu kavramlar matematikseldir. Mimaride de oranlar ve estetik alanında matematiğin kullanımı geniş çaplıdır. Birçok mimar için, bir yapının her yanına yayılmış altın oran, yapıya bir harmoni ve estetik kazandıran bir temel ölçü olmuştur. Ünlü Fransız bilim adamı Schwaller de Lubicz “Eğer uygulaması veya işlevsel unsurları açısından beğenilen ya da oldukça dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada altın oran sayısının bir türevi vardır diyebiliriz.” demiştir. Altın oran piramitlerin yapısında da bulunmaktadır. Altın oran, doğal ve güzel olan önemi nedeniyle eski Yunanistan’da güçlü bir standarttı ve bu ilişkiyi matematiksel olarak tanımlamışlardı. Rönesans döneminde de birçok mimar bu oranı tasarımlarında kullanmıştır. Notre Dame Katedrali’nin bir yüzü en iyi altın oran örneklerindendir. Rönesans’ta, 1550 yıllarından itibaren birçok mimari yapının, binaların dış ve iç mimari kompozisyonlarının oluşumunda Altın Oran kullanılmıştır. Bu durumun ortaya çıkmasında, Alberti’nin “parçaların bütüne hizmet etmesi gerektiği” düşüncesi de etkili olmuştur. Rönesans Mimarisi’nin önemli bir örneği olan Roma’daki Cancelleria Sarayı’nın üst cephe bölümünün analizinde altın dikdörtgenlerden kaynaklanan bir orantı uygulaması açıkça görülmektedir. Cancelleria Sarayı’nın cephesindeki oran 3,4,5 üçgeni ile Altın Oran büyük bir uyum içinde kullanılmıştır. Chartes Katedrali, Speyer Katedrali, Neptün Tapınağının ön cephesinde altın oranın varlığı görülmektedir.
Selçuklu döneminde Konya’da yapılmış olan cami, medrese, türbe, mescid gibi yapılarda cephe düzleminde özellikle taç kapılarda ve pencere boşluklarında altın oranın varlığı belirlenmiştir. Mimar Sinan’ın yaptığı kubbelerin yerden yüksekliği ve minarelerin uzunlukları arasındaki geometrik ilişkide altın oranın varlığı görülmektedir. Kubbe çapının yüksekliğine oranı Sinan’ın kubbelerinde altın orana kadar inmiştir. 1653 yılında inşa edilen Tac Mahal’de, kemerlerin yüksekliğinin genişliğine oranı Altın Oran’ı verecek şekilde tasarlanmıştır.
