Oyun Teorisi / Doç. Dr. Mehmet Polat

Oyun teorisi, karar vericilerin (oyuncuların) birbirine bağımlı tercihlerini analiz etmeye yönelik araçlar sunan uygulamalı bir matematik alanıdır. Bu karşılıklı bağımlılık, her bir oyuncunun strateji geliştirirken diğer oyuncuların muhtemel hamlelerini ya da stratejik tercihlerini dikkate almasını gerektirir. Bir oyunun çözümü, çıkarları örtüşebilen, çatışabilen veya karmaşık biçimde etkileşen oyuncuların en uygun kararlarını ve bu kararların doğurabileceği sonuçları ortaya koyar. Günümüz dünyasında, kararlar nadiren izole bir ortamda alınır. Genellikle, bir kişinin ya da kuruluşun eylemleri, başkalarının kararlarından etkilenir ve bu da karmaşık bir etkileşim ağını doğurur. Oyun teorisi, bu tür durumları analiz etmek ve optimal (en uygun) stratejiler geliştirmek için güçlü araçlar sağlar. Oyun teorisi, bireylerin ve toplulukların karar alma süreçlerindeki stratejik etkileşimlerin derinlemesine anlaşılmasını sağlar.
Oyun teorisi, başlangıçta ekonomi ve politik bilimler gibi sosyal bilimlerde kullanılsa da zamanla biyoloji, bilgisayar bilimi, mühendislik ve felsefe gibi farklı alanlarda da geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Bu disiplin, özellikle rekabet, müzakere, ittifak kurma ve kaynak dağılımı gibi konularda kritik öneme sahiptir. Örneğin, ekonomi alanında piyasa dinamiklerinin anlaşılmasında, siyaset bilimlerinde uluslararası ilişkiler ve savaş stratejilerin belirlenmesinde ve bilgisayar bilimlerinde algoritmik karar verme süreçlerinde oyun teorisinin katkıları büyüktür. Bu geniş uygulama alanı, oyun teorisinin teorik derinliğini ve pratik faydasını açıkça ortaya koymaktadır.
Oyun teorisi literatürüne geçmişten günümüze birçok oyun türü girmiştir. Bu oyunlar, oyununun kurallarından oyuncunun kazanımlarına, oyunun tekrar sayısından oyuncuların bilgi düzeyine, oyundaki zaman kavramından oyuncuların iş birliğine girip girmeme durumuna göre farklı şekillerde sınıflandırılmaktadır. Ayrıca bu özelliklerin bazılarını barındıran ve kendine has varsayımları olan klasik oyunlar da bulunmaktadır.
Genel olarak oyunlar, aşağıdaki varsayımlar bağlamında oynanmaktadır:
 Oyun en az iki kişi arasında oynanmakla birlikte katılımcı sayısı oyunun niteliğine ve oyuncuların tercihine göre artabilir.
 Her bir oyuncu, kendi çıkarlarını en üst düzeye çıkaracak kararlar almaya çalışır.
 Strateji, oyuncuların hamlelerini belirleme özgürlüğüne sahip olduğu ve bu hamlelerin oyunun akışına, rakiplerin tutumuna ve diğer değişkenlere bağlı olduğu bir kavramdır.
 Oyuncuların rasyonel olduğu varsayılır, yani her oyuncu kendi faydasını maksimize etmeye çalışır. Bu, oyuncuların kararlarını tutarlı ve mantıklı bir şekilde verdikleri anlamına gelir. Her oyuncu, mevcut bilgiye dayanarak en iyi stratejiyi seçer.
 Oyuncular birbirlerine karşı bağımlıdır. Oyuncuların kararları birbirini etkiler. Bir oyuncunun stratejisi, diğer oyuncuların stratejilerine bağlıdır ve bu karşılıklı bağımlılık, oyun teorisinin analizinin merkezindedir.
 Oyun teorisinin temelini, kâr maksimizasyonu ve maliyet minimizasyonu oluşturur. Oyuncular, kendi getiri fonksiyonlarını maksimize etmeye çalışır. Her bir strateji kombinasyonu için oyuncuların alacakları getiri bilinir ve oyuncular bu getirilere göre stratejilerini belirler.
Buraya kadar oyun teorisine genel bir girizgâh yapıldı. Şimdi oyun teorisinde ön plana çıkan klasik oyunlardan birkaç tanesine değinelim.
Mahkûmlar İkilemi Oyunu
Bu oyunda, iki kişi çalmış oldukları malı paylaşırken polisler tarafından yakalanır. Fakat polisler, bunları cezalandıracak kadar yeterli delile sahip değillerdir. Ancak en az birinin suçu itiraf etmesi gerekmektedir. Polisler suçu itiraf etmeleri için bir mekanizma hazırlayarak iki suçluyu farklı hücrede tutarlar. Savcı da mahkûmların alacakları kararlar sonucunda katlanmaları gereken ceza hakkında bilgi verir.
Yukarıdaki tabloda gösterildiği gibi mahkûmlardan birinin itiraf etmesi ve diğerinin itiraf etmemesi sonucu, itiraf eden 1 yıl ve itiraf etmeyen ise 5 yıl yatar. Her ikisi de itiraf ederse delile ihtiyaç kalmayacak ve mahkûmlar 4’er yıl yatacaklardır. Fakat her ikisi de itiraf etmezse suç ispatlanmayacak sadece çalıntı malı yanlarında bulundurmaktan dolayı 2’şer yıl yatacaklardır. Mahkûmlar İkilemi, bireylerin kendi çıkarlarını maksimize etmeye çalıştıklarında bu tercihlerin kolektif olarak daha kötü sonuçlar doğurabileceğini gösterir. İki mahkûm da rasyonel olarak kendilerini korumak için diğerini ele verebilir ancak bu durumda her ikisi de daha uzun süreli cezalar alır. Bu oyunda oyuncular birbirlerinin hareketlerini gözlemleyerek karar verme şansları yoktur. Sadece bir defaya mahsus olarak stratejilerini seçebilirler. Bu oyun, iş birliksiz tam bilgili statik oyuna bir örnektir. Eğer mahkûmlar arasında iş birliği imkânı olsaydı, optimum denge (-2,-2) oluşurdu. Optimum denge, oyunda oyuncuların toplam faydasını maksimize eden strateji kombinasyonudur. Ancak mahkûmlar birbirine güvenmediği ve birbirlerinin hareketlerini gözlemleme fırsatı bulmadıkları için oyunun dengesi, Nash dengesi (-4, -4) olarak sonuçlanır. Nash dengesi, her bir oyuncunun stratejisinin diğer oyuncuların stratejilerine karşı en iyi stratejidir. Yani bir oyuncunun başka bir hamle yapması için başka bir nedeninin olmadığı bir durumdur. Kısaca optimum denge, oyuncular arasında iş birliği olduğunda; Nash dengesi ise iş birliği olmadığında ve oyuncuların birbirine güvenmediği bir ortamda oyuncuların kendi faydasını maksimize etme sonucudur.
Mahkûmlar ikilemi oyunu, yalnızca teorik bir oyun olmanın ötesinde, çeşitli disiplinlerde geniş bir uygulama alanı bulan analitik bir modeldir. Uluslararası ilişkiler ve siyaset biliminde, silahlanma yarışı, çevre politikaları, diplomasi ve güven inşası gibi birçok konunun analiz edilmesinde kullanılmaktadır. Örneğin, iki ülke nükleer silah üretimini kısma noktasında anlaşmaya varabilirler. Ancak ülkelerden biri bu anlaşmaya uymaz ve nükleer silah üretimine devam ederse rakip ülke zarar görür. Bu bağlamda her iki ülke birbirine güvenmediğinden dolayı Nash dengesi olan silah üretimine devam eder.
Mahkûmlar ikilemi oyunu, iktisat ve rekabet stratejilerinde firmalar arası fiyat rekabeti, reklam harcamaları, pazar paylaşımı ve kartel davranışları gibi durumların analizinde kullanılan önemli bir araçtır. Örneğin, iki firmanın olduğu bir piyasada, firmalar fiyatlarını düşürmeme noktasında anlaşıp optimum denge yakalayabilir. Ancak firmalardan biri, anlaşmaya sadık kalmayıp fiyat indirimine giderse daha çok müşteri çekeceğinden dolayı yüksek kâr elde eder. Bu durumda ise rakip firma zarar eder. Sonuç olarak iş birliğinin olmadığı Nash dengesi, zorunlu hale gelir ve firmalar, fiyat indirimine giderek düşük kâr elde etmeye razı olur. Ayrıca çevre ekonomisi ve doğal kaynakların kullanımında, ortak malların yönetimi, balıkçılık, ormanlar ve su kaynakları gibi alanlarda aşırı kullanım sorunlarının çözümlemesinde de kullanılan bir araçtır. Örneğin, bir gölden herkes sınırsız balık avlamaya ya da aşırı su kullanımına gidebilir. Eğer kimse kısıtlamaya uymazsa göl tükenir. Uyum iş birliğine isterken bireysel çıkarlar ise bunu zorlaştırmaktadır.
Mahkûmlar ikilemi oyunu, hukuk ve ceza adaleti sisteminde ifade alma süreçlerinde iş birliği, itiraf senaryoları ve şüphelilere sunulan pazarlık tekliflerinde kullanılmaktadır. Örneğin, iki suç ortağının olduğu bir davada, itiraf eden az ceza alırken itiraf etmeyen fazla ceza alır. Eğer taraflar susar ya da suçu kabullenmez ise her iki taraf hafif ceza alır (Optimum Denge). Ancak her iki taraf birbirine güvenmediği ve ihanet edileceği endişesi, her iki tarafın itiraf ettiği bir sonucu doğurur (Nash Dengesi). Sosyoloji alanında da normların, sosyal bağların ve güvenin davranış üzerindeki etkisinin test edilmesinde kullanılmaktadır. Örneğin, bir toplulukta herkes çöpünü doğru yere atarsa çevre temiz kalır. Ancak bireyler bu kurala uymazsa sistem çöker. Sistemin ayakta durması, sadece iş birliği ile olur.
Deneysel ekonomi ve psikoloji alanında, insan davranışlarını test etmek, güven, empati, cezalandırma ve intikam gibi sosyal kavramların etkisini ölçmek için mahkûmlar ikilemi oyununa başvurulmaktadır. Örneğin, laboratuvar ortamında gönüllülerle tekrarlı mahkûmlar ikilemi oyunu oynatılarak iş birliği eğilimleri ölçülür. Diğer yandan yapay zekâ, makine öğrenimi, kripto ekonomi ve blokzincir sistemleri alanlarında, otonom ajanlar arasında stratejik etkileşim, çok ajanlı sistemlerde karar verme, madenci davranışları, oyalama sistemleri ve ağ içi koordinasyon sorunları gibi konuların çözümlemesinde de kullanılan önemli araçlardan biridir.
Cinsiyetler Savaşı Oyunu
Bu oyun, bir erkek ve bir kadın arasında oynanmaktadır. Erkek boks maçına gitmek isterken, kadın bale gösterisini tercih etmektedir. Tercihleri farklı olmasına rağmen, birbirlerine duydukları sevgi nedeniyle, birbirlerinin tercihlerini kabul etmeye razı olan eşler söz konusudur. Bu durum, iki oyuncunun da birlikte vakit geçirmek istemesi nedeniyle ortaya çıkan stratejik bir etkileşim örneği olarak incelenir.
Tabloda gösterilen oyunda strateji kümesi (boks, boks), (boks, bale), (bale, boks) ve (bale, bale) olarak tanımlanmıştır. İki oyuncunun ortak bir karar vermesi gereken bu oyunda, baskın strateji Nash dengesi bulunmamaktadır. Bununla birlikte, oyunda iki tane Nash dengesi mevcuttur. Bu Nash dengelerinden biri (boks, boks), diğeri ise (bale, bale) stratejileridir. Eğer kadın, erkeğin boks seçtiğini düşünüyorsa, kendisi için en uygun strateji boks olacaktır. Benzer şekilde, erkek de kadının boks seçtiğini varsayarsa, boks stratejisini sürdürmesi onun için en iyi seçenek olacaktır. Diğer Nash dengesi stratejisi olan (bale, bale) için de aynı durum geçerlidir. Cinsiyetler savaşı oyununda Pareto etkinliği söz konusudur. Yani, oyuncuların strateji profillerine bakıldığında, bir oyuncunun faydasını azaltmadan diğer oyuncunun faydasını artırmanın mümkün olmadığı bir durum söz konusudur. Bu, oyunun sonuçlarının her iki oyuncu için de optimal olduğunu göstermektedir.
Bu oyunda, oyuncuların tercihleri arasında çatışma olsa da birlikte oynamak daha faydalı olacağı görülmektedir. Bu durum, ekonominin birçok alanında karşımıza çıkar. Örneğin; iki firmanın olduğu bir endüstride, firmaların ayrı ayrı ürettiği ürünler için farklı standartlarda tercihleri olabilir. Fakat ürünlerin aynı standartlarda üretilmesinin de tüketicileri teşvik edeceğini bilmeleri ve bu yüzden birlikte hareket etmeleri, her iki firma için daha faydalı olacaktır.
Korkak Tavuk Oyunu
Korkak Tavuk oyunu, iki oyuncunun birbirine karşı stratejik kararlar aldığı ve sonuçların her iki taraf için de ciddi riskler taşıdığı bir senaryoyu modellemek için kullanılır. Oyun, genellikle şu şekilde betimlenir: İki oyuncu, zıt yönlerden birbirine doğru hızla araba sürmektedir. Her iki oyuncunun da iki seçeneği vardır: Direksiyonu kırmak (çekil) veya yoluna devam etmek (çekilme). Eğer ikisi de direksiyonu kırmazsa, çarpışma gerçekleşir ve bu, her iki oyuncu için de en kötü senaryodur. Bir oyuncu direksiyonu kırarsa diğeri kazanan olur ve bu, bir oyuncunun diğeri üzerinde üstünlük sağlaması anlamına gelir. Sonuç olarak direksiyonu kıran kişi korkaklık gösterecek, yani tavuk gibi kaçacaktır. Eğer oyunculardan biri direksiyonu kırmazsa kaza meydana gelecek ve ikisi de zarar görecektir.
Korkak Tavuk oyununda, iki tane Nash dengesi bulunmaktadır. Eğer birinci oyuncu, ikinci oyuncunun (çekilme) stratejisini seçeceğini düşünürse, birinci oyuncu için en uygun hareket (çekil) olacaktır. Benzer şekilde, ikinci oyuncu da birinci oyuncunun (çekilme) stratejisini seçeceğini öngörürse, ikinci oyuncu için en iyi strateji (çekil) olur. Bu durumda her iki oyuncunun da stratejileri karşılıklı olarak en iyi yanıtı verdikleri için (çekil, çekilme) bir Nash dengesidir. Öte yandan, eğer birinci oyuncu, ikinci oyuncunun (çekil) stratejisini seçeceğini düşünürse, birinci oyuncu için en uygun strateji (çekilme)’dir. Aynı şekilde, ikinci oyuncu da birinci oyuncunun (çekilme) stratejisini seçeceğini öngörürse, ikinci oyuncu için en uygun hareket (çekil)’dir. Bu strateji profili de durağan bir durum teşkil ettiğinden, ikinci Nash dengesi (çekilme, çekil) olarak belirlenir.
Bu oyunda ortaya çıkan temel sonuç, rakip ısrarcı olduğunda, ısrarcı olmamak; ısrarcı olmadığında ise ısrarcı olmaktır. Bu bağlamda Korkak Tavuk oyunu, bir anti-koordinasyon oyunudur denilebilir. Korkak Tavuk oyunu, çeşitli alanlarda uygulanabilir ve incelenebilir. Örneğin, uluslararası ilişkilerde nükleer caydırıcılık senaryoları bu oyun üzerinden modellenmiştir. İki ülkenin de nükleer silahları kullanma tehdidinde bulunması ancak bu tehdidin uygulanması durumunda karşılıklı yıkım yaşanması, Korkak Tavuk oyununun bir türüdür. Ayrıca ekonomik modellerde ve çatışma çözümlemelerinde de bu oyun kullanılır. Örneğin, firmalar arasındaki rekabetçi stratejiler veya politik müzakerelerdeki karar alma süreçleri bu oyun teorisi çerçevesinde incelenebilir.
Geyik Oyunu
Geyik oyunu, oyun teorisinin klasik örneklerinden biridir ve iki oyuncunun ortak bir av yakalamak için iş birliği yapıp yapmama kararını inceleyen bir koordinasyon oyunudur. Bu oyun, bireysel çıkarlar ile ortak çıkarlar arasındaki dengeyi ve güven faktörünü inceler. Geyik oyunu, aç olan ve geyiği avlamak isteyen avcılardan oluşan bir senaryoyu betimler. Avcıların temel amacı, geyiği avlayarak maksimum faydayı elde etmektir. Bu ancak iş birliği yapmaları durumunda mümkündür. İş birliği yapmadıklarında geyik kaçar ve avcılar optimal fayda düzeyine ulaşamazlar. Eğer avcılar bireysel olarak hareket edip tavşana odaklanırsa, tavşanı avlamaları mümkün olabilir ancak bu durumda elde edecekleri fayda daha düşük olacaktır. Tavşanı avlamak, bireysel faydayı kısmen tatmin edebilir ancak kolektif fayda düşük kalır. İş birliği yaptıklarında ise hem bireysel hem de kolektif fayda maksimum düzeye ulaşır. Sonuç olarak, avcılar iki seçenekle karşı karşıyadır: Ya kolektif hareket edip yüksek fayda elde edecekler ya da bireysel çıkarlarını gözetip düşük fayda ile yetineceklerdir.
Geyik oyununda, iki tane Nash dengesi vardır. Bunlar (geyik, geyik) ve (tavşan, tavşan) stratejileridir. Eğer oyunculardan biri diğerinin geyik stratejisini seçeceğini düşünürse bu oyuncu için en iyi strateji geyik olur. Eğer oyunculardan biri diğerinin geyik stratejisini devam edeceğini düşünürse o da geyik stratejisine devam edecektir. Oyunculardan biri tavşan yakalarsa diğeri de tavşan yakalamayı isteyecektir. Çünkü bu durumda geyiği yakalamak olanaksızdır. Sonuç olarak bir tavşan seçtiğinde tavşan, geyik seçtiğinde geyik oynamak gerekir.
Geyik oyunu, çeşitli alanlarda uygulanabilir ve incelenebilir. Örneğin, ekonomik modellerde firmaların iş birliği yapma veya bağımsız hareket etme kararlarını analiz etmek için kullanılabilir. Ayrıca, uluslararası ilişkilerde ülkelerin iş birliği yaparak ortak çıkarlarını maksimize etmeleri veya bireysel çıkarlarını gözeterek düşük kazanç elde etmeleri senaryolarını modellemek için de kullanılır.